پایه (ریاضیات)

پایِه (ریاضیات)(base)
در حساب، تعداد نمادهای رقمی متفاوت در یک دستگاه اعداد خاص. در دستگاه اعداد معمولی، که دهدهی یا اعشاری و دارای نمادهای ۰، ۱، ۲، ۳، ۴، ۵، ۶، ۷، ۸، ۹ است، پایه یا مبنا عدد ۱۰ است. در دستگاه اعداد دودویی، که فقط نمادهای ۰ و ۱ را دارد، پایه ۲ است. ارزش مکانی هر یک از رقم‌های عدد توانی از پایه است. مثلاً در عدد ۵۷۸۹ در پایۀ ده، ۹ رقم یکان (۱۰۰)، ۸ رقم دهگان (۱۰۱)، ۷ رقم صدگان (۱۰۲)، و ۵ رقم هزارگان (۱۰۳) است. کلاً هر دستگاه شمارش مبتنی‌بر ارزش مکانی در پایۀ b را می‌توان به‌صورت ...b^-۳, b^-۲, b^-۱, b^۰, b^۱, b^۲, b^۳, b^۴... نمایش داد که در پایۀ ۱۰ چنین نمایش داده می‌شود: .... ۳ـ۱۰ , ۲ـ۱۰ , ۱ـ۱۰ , ۱۰۰ , ۱۰۱, ۱۰۲, ۱۰۳ , ۱۰۴ ...، و در پایۀ ۲: ...۳-۲ ,۲- ۲ ,۱- ۲ , ۲۰ , ۲۱ , ۲۲ , ۲۳ , ۲۴... .برای پایه‌های بزرگ‌تر، به جای هر یک از عددهای دو رقمی ۱۲،۱۱،۱۰ و غیره باید یک تک‌رقم به‌کار برد. مثلاً در پایۀ ۱۶، همۀ عددهای کوچک‌تر از ۱۶ را باید به صورت عددهایی تک‌رقمی نشان‌داد، زیرا ۱۰ در دستگاه شانزده‌گانی به‌معنی ۱۶ در دستگاه دهدهی است. پس عددهای دهدهی ۱۰، ۱۱، ۱۲، ۱۳، ۱۴، ۱۵در دستگاه شانزدهگانی به‌ترتیب با حروف F،E،D،C،B،A نمایش داده ‌می‌شوند. لفظ پایه همچنین به عددی اطلاق می‌شود که هرگاه به توان خاصی برسد، یعنی به تعداد دفعات خاص در خودش ضرب شود، مثلاً ۱۰۰=۱۰×۱۰=۱۰۲، دارای لگاریتمی برابر با آن توان باشد. مثلاً لگاریتم ۱۰۰ در پایۀ ۱۰ برابر با ۲ است. در جبر نیز، در عبارت a، aⁿ را پایه و n را نما می‌نامند.