ماتریس

ماتْریس (matrix)

ماتْريس

در ریاضیات، آرایهای مستطیلی، شامل m سطر و n ستون، یا مربعی شامل n سطر و n ستون، از اعداد یا عبارت‌های جبری. این اعداد و عبارات عناصر یا درایه‌های ماتریس نامیده می‌شوند. ماتریس برای تسهیلِ بررسی مسائلی به‌کار می‌رود که در آن‌ها رابطۀ بین این عناصر مهم است. در واقع، ماتریس وسیله‌ای برای فشرده‌سازی اطلاعات دستگاه‌های ریاضی است و در موارد متعدد، ازجمله برای حل دستگاه‌های معادلات خطی (← دستگاه‌ معادلات)، به‌کار می‌رود. فایدۀ ماتریس در این است که به‌جای درنظرگرفتن تعدادی کمیت جداجدا، به آرایشی از همۀ آن‌ها یک نماد نسبت داده و آن را از نظر جبری مطالعه می‌کنند. این نماد معمولاً یکی از حروف بزرگ الفبای لاتین است و درایه‌های ماتریس را هم معمولاً با حرف کوچک متناظر، همراه با زیرنویس‌های نشان‌دهندۀ سطر و ستون درایه، نشان می‌دهند. مثلاً‌، ماتریس را با Aو درایه‌های آن را a_ij می‌نمایانند که به‌معنیِ درایۀ واقع در سطر i ام و ستون j ام است. ماتریس را نیز گاه با [a_ij] نشان می‌دهند. اندازه یا مرتبه ماتریس برحسب تعداد سطرها و ستون‌های آن بیان می‌شود، مثلاً ماتریسی که سه سطر و دو ستون دارد، ماتریسی ۲×۳ است. به‌طور کلی، ماتریسی با m سطر و n ستون را ماتریس m×n می‌گویند. ماتریسی که تعداد سطرها و ستون‌هایش برابر باشد، ماتریس مربعی نامیده می‌شود و مرتبۀ آن تعداد سطرها یا ستون‌هایش است. به هر ماتریس مربعی عددی به نام دترمینان نسبت می‌دهند. دو ماتریس A و B را برابر گویند، اگر تعداد سطرهای‌شان باهم و تعداد ستون‌های‌شان باهم برابر و به‌ازای هر i و هر j تساوی a_ij = b_ij  برقرار باشد. مجموع دو ماتریس A و B، که هر دو m×n باشند، ماتریسی m×n چون S=A+B است که هر درایۀ s_ij واقع در سطر i ام و ستون j ام آن، برابر a_ij + b_ij، یعنی مجموع درایه‌های A و B در سطر و ستون متناظر، است. حاصل‌ضرب اسکالر عدد c در ماتریس A ماتریسی است که با cA یا Ac نشان داده می‌شود و درایه‌های آن عبارت‌اند از ca_ij. برای ضرب ماتریس‌ها باید تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب ماتریس A در ماتریس B ماتریسی است مانند C که تعداد سطرهایش برابر تعداد سطرهای A و تعداد ستون‌هایش برابر تعداد ستون‌های B است، یعنی اگر A ماتریسی m×n و B ماتریسی n×p باشد، C ماتریسی m×p است. درایۀ c_ij واقع در سطر i ام و ستون j ام C به این طریق به‌دست می‌آید که درایۀ اول سطر i ام A در درایۀ اول ستون j ام B، درایۀ دوم سطر i ام A در درایۀ دوم ستون j ام B، و به‌همین ترتیب، ضرب می‌شود و حاصل‌ضرب‌ها را با هم جمع می‌کنند یعنی c_ij = a_i۱ b_۱j + a_i۲b_۲j + .... + a_in b_nj. نظریۀ اولیۀ ماتریس را عمدتاً آرتور کیلی (۱۸۲۱ـ ۱۸۹۵)، ریاضی‌دان بریتانیایی، ابداع کرد، ولی واضع اصطلاح ماتریس ریاضی‌دان معاصر کیلی، جیمز سیلوستر (۱۸۱۴ـ ۱۸۹۷)، بود.

 

---