گروه (ریاضیات)

گروه (ریاضیات)(group)
در ریاضیات، مجموعهای با یک عمل، مانند ضرب یا جمع، که هر جفت از اعضای مجموعه را باهم ترکیب کند، به‌نحوی که (۱) حاصل ترکیب همواره عضوی از مجموعه باشد؛ (۲) مجموعه دارای عضوی، با نام عضو همانی (یکه)، باشد، به‌قسمی که حاصلِ ترکیب هر عضو با آن، به‌صورت هر یک از دو ترتیبِ ممکن، همان عضو باشد؛ (۳) به‌‌ازای هر عضو مجموعه، عضوی با نام وارون وجود داشته باشد، چنان‌که حاصل ترکیب آن دو، به‌صورت هر یک از دو ترتیبِ ممکن، عضو همانی باشد؛ و (۴) قانون شرکت‌پذیری (← عمل شرکت‌پذیر) در آن برقرار باشد. مثلاً، مجموعۀ همۀ اعداد صحیح، اعداد مثبت و منفیِ درست و صفر، با عمل جمع معمولی تشکیل یک گروه می‌دهد، زیرا: (۱) حاصلِ جمع هر دو عدد صحیح عددی صحیح است؛ (۲) این مجموعه شامل عضو همانی ۰ است که جمع آن با هر عدد تأثیری بر آن ندارد. مثلاً ۳=۰+۳؛ (۳) هر عدد صحیح یک وارون جمعی یا قرینه دارد. مثلاً قرینۀ ۷، ۷- است و مجموع هر عدد صحیح و وارونش ۰ است؛ و (۴) عمل جمع اعداد صحیح شرکت‌پذیر است، یعنی مجموع دو یا چند عدد صحیح، صرف‌نظر از دسته‌بندی آن‌ها در عمل جمع، یکی است، یعنی (A+B)+C=A+(B+C). نظریۀ گروه‌ها به بررسی ویژگی‌های گروه‌ها می‌پردازد.

 

---