جبر

جَبر (algebra)
شاخۀ مهمی از ریاضیات، حاصل از تعمیم و تجرید حساب. در جبر، از نمادها، معمولاً حروف، برای نمایش متغیرها و کمیت‌های مجهول استفاده می‌کنند تا عمل‌های حساب، علاوه‌بر اعداد مشخص، با کمیت‌های متغیر نیز اجرا شوند. مثلاً، گزاره‌های حسابی ۵×۳=۵+۵+۵ و ۷×۳=۷+۷+۷ حالات خاصی از رابطۀ جبری کلی x + x + x = ۳x اند که در این‌جا، حرف x نمایندۀ متغیری است که می‌تواند هر عدد دلخواه را به‌جای مقدار اختیار کند. (x + y)^۲ = x^۲ + ۲xy + y^۲ نیز رابطه‌ای است که در آن دو متغیر x و y ممکن است هر دو عدد دلخواه باشند. همچنین، ممکن است حرف مورد نظر نشان‌دهندۀ متغیری باشد که مقدارش به عدد یا عددهای خاصی محدود شده است. مثلاً در معادلۀ x^۲- ۹ = ۰ متغیر x که در این‌جا مجهول نامیده می‌شود، فقط می‌تواند عددهای ۳+ و ۳ـ را اختیار کند. علامت‌های مثبت و منفی و صفر از قدم‌هایی است که در راه تعمیم مفاهیم حساب برداشته شده است. یکی از ویژگی‌های مهم محاسبات جبری این است که با تعدادی متناهی کمیت سروکار دارند و پس از تعدادی متناهی از مراحل پایان می‌پذیرند. به ‌عبارت دیگر، فرآیندهایی که با بی‌نهایت کمیت و مرحله سروکار دارند و در آن‌ها جواب «درحد» به‌دست می‌آید، عموماً به جبر تعلق ندارند. از فواید مهم جبر و موضوع اصلی جبر مقدماتی، تعیین مقادیر مجهول از طریق حل معادلات، به‌خصوص معادلات چندجمله‌ای است (← معادله). دترمینان و ماتریس ابزارهایی برای تسهیل حل دستگاه‌های معادلات‌اند. دستگاه معادلات عبارت است از چند معادله که ریشههای مشترک آن‌ها مورد نظر باشد. تا چند قرن پیش، کلمۀ جبر به مبحث معادلات اطلاق می‌شد. این کلمه از کتاب حساب‌الجبر و المقابله اثر محمد بن موسی خوارزمی، ریاضیدانِ ایرانیِ قرن ۳ق، نشأت گرفته است. خوارزمی اصطلاح جبر را برای افزودن کمیت‌های مساوی به دو طرف معادله به‌کار می‌برد. پس از ترجمۀ رسالۀ خوارزمی به زبان لاتینی، این اصطلاح به زبان‌های اروپایی راه یافت و نام رشته‌ای شد که بعدها از مطالعۀ معادلات فراتر رفت و بررسی انواعی از ساختارهای مجرد ریاضی را نیز دربر‌گرفت. جبر، نه به‌صورتِ نمادی فعلی آن، بلکه به‌عنوان مجموعۀ معادلات و مسائلی، از نوع جبری، پیشینه‌ای طولانی دارد. بابلی‌های باستان (ح قرن ۱۸پ‌م) با مبانی جبر آشنا بودند. لوح‌های فراوانی از آن‌ها، حاوی مجموعه‌هایی از مسائل و جواب‌هایشان، به‌جا مانده که ظاهراً تمرین‌های درسی بوده‌اند. همچنین، ریاضیدانان عهد باستان در مصر، چین، و هند نیز به این موضوع توجه داشته‌اند. رسالۀ جامعی دربارۀ این موضوع با نام آریثمتیکا، در قرن ۳م به‌دست دیوفانتوسِ اسکندرانی نوشته شد که در آن، تاحدودی نمادها به‌کار رفته‌اند. در قرن ۳ق، خوارزمی کتاب مهم و مؤثر خود حساب‌الجبر و المقابله را براساس اثر دیوفانتوس و منابع هندی تألیف کرد. تکوین نمادگذاری از دوران باستان تا قرون وسطا، معادله‌ها و حل آن‌ها را با استفاده از کلمات یا به زبان هندسی بیان می‌کردند. فقط در آریثمتیکای دیوفانتوس تا حدی از علایم استفاده شده بود. در قرن ۱۶، به‌سبب پیچیدگی فزایندۀ حکم‌های ریاضی، که بیان‌ آن‌ها با استفاده از کلمات بسیار دشوار بود، استفادۀ جدی از نمادها در جبر، عمدتاً به ابتکار فرانسوا ویِت، آغاز شد. این نمادگذاری به تحقیقات بعدی در جبر بسیار کمک کرد، زیرا وسیلۀ مناسبی برای «کوتاه‌نویسی» بود و تشابهات بین مسائل گوناگون را آشکار کرده و راه کشف روش‌ها و حکم‌های عام را نشان می‌داد. اعداد چهارگانی و قانون خودتوانی جبر در اواسط قرن ۱۹ به‌مرحلۀ کاملاً جدیدی از تجرید دست یافت. در ۱۸۴۳، سِر ویلیام روان همیلتون با کشف کواترنیون‌ها، چهارگان‌ها یا اعداد چهارگانی، دستگاه اعداد را به‌منظور مطالعۀ فضای سه بعدی گسترش داد. در این دستگاه گسترش‌یافته، قانون تعویض‌پذیری (جابه‌جایی) ضرب در حالت کلی برقرار نیست، یعنی برای بیشتر کواترنیون‌های a و ab ≠ ba, b  در ۱۸۵۴، جورج بول نمادگان جبری را در منطق به‌کار برد و آن‌ها را برای این مبحث کاملاً مناسب یافت. او مجبور شد فقط یک «قانون خاص» وضع کند که مطابق آن a^۲ = a . این قانون را خودتوانی نامید.

ساختارهای جبری. این کشفیات به درک این موضوع انجامید که وجود ساختارهای جبری متعددی امکان‌پذیر است و هریک را می‌توان با عمل یا اعمالی توصیف کرد که بر اشیاء مشخصی صورت می‌گیرند و در قوانین خاصی می‌گنجند. مثلاً، در دستگاه اعداد، دو عمل جمع و ضرب بر اعداد انجام می‌شوند و از قوانین تعویض‌پذیری (جابه‌جایی)، شرکت‌پذیری، و توزیع‌پذیری تبعیت می‌کنند. بنابه اصطلاحات امروزی، هر ساختار جبری مرکب است از یک مجموعۀ A و عمل یا اعمالی دوتایی، یعنی تابعهایی که A×A را به A می‌نگارند، که در اصول موضوع مشخص‌شده‌ای صدق می‌کنند. نمونه‌ای از این ساختارها گروه است که از قرن ۱۸ مورد توجه و مطالعه قرار گرفت. این ساختار نخست برای مطالعۀ حل‌پذیری معادلات چندجمله‌ای مطرح شد، ولی در مسائل متعدد دیگری، ازجمله در هندسه، نیز ظاهر شد و حتی کاربردهایی در فیزیک نوین یافت. هدف عمدۀ جبر نوین مطالعۀ هر یک از ساختارهای ممکن است تا قواعدی کلی برای هر ساختار به‌دست آید، به‌صورتی که در هر وضعیتی که ساختار ظاهر می‌شود، صادق باشند. تاکنون ساختارهای متعددی بررسی شده‌اند. از ۱۹۳۰، با مطالعۀ جبر عام، که ویژگی‌های مشترک همۀ انواع ساختارهای جبری را دارد، تعمیم گسترده‌تری از آن‌ها نیز میسر شده است. در واقع، جبر جدید مشتمل بر جبر سنتی و مقدماتی، به اضافۀ مباحث متعدد دیگری است که صورتی بسیار تعمیم‌یافته پیدا کرده‌اند.

---