تکمیل مربع

تَکمیل مُرَبّع (completing the square)

فرمول 1

فرمول 2

فرمول 3

فرمول 4

فرمول 5

به‌دست‌آوردن مربع کامل یا عبارتی به توان دو، از یک عبارت درجۀ دوم، با افزودن و کاستن ثابت مناسب. این عمل در اصل برای حل معادلۀ درجۀ دوم صورت می‌گرفته است. به این منظور، نخست همۀ جمله‌های معادله را بر ضریب جملۀ توان دو تقسیم می‌کنند و آن‌گاه همه را به‌طرف چپ معادله می‌برند تا معادله به‌صورت x^۲ + qx + q = ۰ درآید. سپس، می‌نویسد x^۲ + qx = -q . بعداً (فرمول ۱) را به طرفین معادله اضافه می‌کنند: (فرمول ۲) یا (فرمول ۳).

طرف چپ معادله مربع کامل است و می‌توان از آن ریشۀ دوم گرفت. پس، (فرمول ۴) و درنتیجه (فرمول ۵).

 

تکمیل مربع کاربردهای دیگری نیز دارد. ازجمله آن‌که هنگام تحویل معادلات مقاطع مخروطی به‌شکل متعارف، عبارتی به‌شکل a_۱x^۲ + b_۱x + c را به‌شکل a_۱ (x + b_۲)^۲ + c_۲ درمی‌آورند.

 

تصاویر این فرمول‌ها را در گوشه سمت چپ این مقاله آمده است:

 

---